令 $I_n={\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-x}\sin nx\mathrm{d}x$。直接积分得 $I_n=\frac{n-{\mathrm{e}}^{-1}\sin n-{\mathrm{e}}^{-1}n\cos n}{1+n^2}$。

分子为 $O(n)$，分母 $1+n^2\ge n^2$，所以 $I_n=O(\frac{1}{n})$，故 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=0$。