利用$\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}=\mathrm{d}(2\sqrt{x})$，取分部积分中$u=\ln x$、$v=2\sqrt{x}$，得到

$$\begin{array}{rl}I& =[2\sqrt{x}\ln x{]}_1^{e^2}-2{\int }_1^{e^2}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}\\ & =4e-4[\sqrt{x}{]}_1^{e^2}=4e-4(e-1)=4.\end{array}$$

这里$\sqrt{e^2}=e$、$\ln (e^2)=2$，下限$1$处第二个边界项不能遗漏。

令$x=t^2$，则$t$从$1$到$e$，$\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t$，$\ln x=2\ln t$，所以

$$I=4{\int }_1^e\ln t\mathrm{d}t=4[t\ln t-t{]}_1^e=4[(e-e)-(0-1)]=4.$$