记 $\xi =(1,1,1{)}^T$。由于 $A$ 的各行元素之和均为 $3$，有

$\xi \ne 0$，故 $3$ 是 $A$ 的特征值。二次型矩阵 $A$ 实对称，可以正交对角化；相似变换保持秩，而 $r(A)=1$，因此三个特征值中恰有一个非零。已知这个非零特征值为 $3$，故其余两个特征值均为 $0$。
取单位特征向量 $q_1=\frac{\xi }{\sqrt{3}}$，再在零特征值的特征子空间中取两个单位正交向量 $q_2,q_3$。实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以 $Q=(q_1,q_2,q_3)$ 正交，且

于是正交变换 $x=Qy$ 将二次型化为 $f=y^T{Q}^{T}AQy=3y_1^2$。若交换 $Q$ 的列，唯一非零平方项也可对应其他坐标。