1995 · 数学一 · 第 13 题 · 解答题

计算曲面积分

\iint_{Σ} z d S

，其中

Σ

为锥面

z = x^{2} + y^{2}

在柱体

x^{2} + y^{2} \leq 2 x

内的部分。

答案

$\frac{32 2}{9}$

查看解析展开

锥面是图形 $z = x^{2} + y^{2}$ ，故 $d S = 2 d x d y$ 。其投影区域 $D$ 满足 $x^{2} + y^{2} \leq 2 x$ 。

在极坐标中， $- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$ ， $0 \leq r \leq 2 cos θ$ ，而 $z = r$ 。因此

\iint_{Σ} z d S = 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{2 c o s θ} r^{2} d r d θ = \frac{8 2}{3} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos^{3} θ d θ = \frac{32 2}{9} .