令$t=1-x\to 0^{+}$，则$\sin (\pi x)=\sin (\pi t)$，从而$f(x)=\frac{1}{\pi x}+\frac{1}{\sin (\pi t)}-\frac{1}{\pi t}$。

其中$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{1}{\sin (\pi t)}-\frac{1}{\pi t}\right)=0$，而$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{\pi x}=\frac{1}{\pi }$。

故左极限为$\frac{1}{\pi }$，补充定义$f(1)=\frac{1}{\pi }$即可使其在$[\frac{1}{2},1]$上连续。