1995 · 数学三 · 第 13 题 · 解答题

设

f (x^{2} - 1) = ln \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 2}

，且

f [ϕ (x)] = ln x

，求

\int ϕ (x) d x

。

答案

$x + 2 ln (x - 1) + C (x > 1)$

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令 $u = x^{2} - 1$ 。由原关系的实数定义域有 $u > 1$ ，并且

f (u) = ln \frac{u + 1}{u - 1} .

因此 $f [ϕ (x)] = ln x$ 给出 $ln [\frac{( ϕ + 1 )}{( ϕ - 1 )}] = ln x$ ，从而 $ϕ (x) = \frac{( x + 1 )}{( x - 1 )}$ 。为使 $ϕ (x) > 1$ ，取 $x > 1$ 。

于是

\int ϕ (x) d x = \int (1 + \frac{2}{x - 1}) d x = x + 2 ln (x - 1) + C .