设第一象限椭圆上的点为 $P(a\cos t,b\sin t)$，其中 $0<t<\frac{\pi }{2}$。该点处切线为 $\frac{x\cos t}{a}+\frac{y\sin t}{b}=1$，在两坐标轴上的截距分别为 $\frac{a}{\cos t}$ 与 $\frac{b}{\sin t}$。

切线与两轴所成三角形面积为 $S_{△}=\frac{ab}{2\sin t\cos t}=\frac{ab}{\sin 2t}$。题述图形的面积等于该三角形面积减去固定的第一象限四分之一椭圆面积 $\frac{\pi ab}{4}$，所以只需使 $S_{△}$ 最小。

由于 $0<\sin 2t\le 1$，最小值在 $t=\frac{\pi }{4}$ 处取得。故所求点为 $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{b}{\sqrt{2}}\right)$。