补上平面片 ${\Sigma }_1:z=1,x^2+y^2\le 1$，取上侧。它与抛物面围成 $\Omega :x^2+y^2\le z\le 1$。抛物面是下边界，其外侧朝下，而题设 $\Sigma$ 朝上，所以外向闭曲面是 ${\Sigma }_1\cup (-\Sigma )$。
记向量场 $\mathbf{F}=((x-1{)}^3,(y-1{)}^3,z-1)$，它在全空间光滑。补面法向为 $(0,0,1)$，且 $z-1=0$，所以补面通量为零。高斯公式给出

散度为 $3(x-1{)}^2+3(y-1{)}^2+1=3(x^2+y^2)-6(x+y)+7$。区域关于 $x=0$、$y=0$ 都对称，奇函数项积分为零。用柱坐标计算所需两项：

所以 $I=-(3\cdot \frac{\pi }{6}+7\cdot \frac{\pi }{2})=-4\pi$。