2009 · 数学一 · 第 9 题 · 填空题

设函数

f (u, v)

具有二阶连续偏导数，

z = f (x, x y)

，则

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} =

。

答案

$f_{v} (x, x y) + x f_{uv} (x, x y) + x y f_{v v} (x, x y)$

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令 $u = x, v = x y$ ，则 $z = f (u, v)$ 。先求 $z_{y} = x f_{v} (u, v)$ ，再对 $x$ 求导：

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (x f_{v} (x, x y)) = f_{v} (x, x y) + x (f_{uv} (x, x y) + y f_{v v} (x, x y)) .