（1）齐次方程的特征方程为 $r^2-2r=r(r-2)=0$，故齐次通解为 $Y=C_1+C_2{\mathrm{e}}^{2x}$。根 $r=0$ 对应常数解，不能遗漏。
（2）右端为 ${\mathrm{e}}^x$，而 $1$ 不是特征根，设特解 $y^{\ast }=A{\mathrm{e}}^x$。代入得 $A{\mathrm{e}}^x-2A{\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^x$，所以 $A=-1$。通解与其导数为 $y=C_1+C_2{\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^x$、$y^{\prime }=2C_2{\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^x$。
（3）代入两个初值，得到

解得 $C_1=C_2=1$，故 $y={\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^x+1$。
（4）核对：$y^{\prime }=2{\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^x$、$y^{\prime \prime }=4{\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^x$，于是 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }={\mathrm{e}}^x$，且 $y(0)=1$、$y^{\prime }(0)=1$。