2003 · 数学三 · 第 19 题 · 解答题

已知齐次线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ (a_{1} + b) x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} = 0, a_{1} x_{1} + (a_{2} + b) x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} = 0, \dots, a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + (a_{n} + b) x_{n} = 0,

，其中

i = 1 \sum n a_{i} \neq = 0

。讨论

a_{1}, \dots, a_{n}, b

满足何种关系时：

(1) 方程组仅有零解；
(2) 方程组有非零解，并求一个基础解系。

答案

第 1 问

记 $S = i = 1 \sum n a_{i}$ ，则仅有零解当且仅当 $b^{n - 1} (b + S) \neq = 0$

第 2 问

有非零解当且仅当 $b^{n - 1} (b + S) = 0$ 。当 $n \geq 2$ 时：若 $b = 0$ ，取任意 $a_{k} \neq = 0$ ，基础解系为 ${e_{i} - \frac{a _{i}}{a _{k}} e_{k} ∣ i \neq = k}$ ；若 $b = - S$ ，基础解系为 ${(1, 1, \dots, 1)^{T}}$ 。若 $n = 1$ ，只有 $b = - S$ 时有非零解，基础解系为 ${(1)}$

解析

第 1 问

记 $I$ 为 $n$ 阶单位矩阵。记 $S = i = 1 \sum n a_{i}$ 、 $1 = (1, \dots, 1)^{T}$ 、 $a = (a_{1}, \dots, a_{n})^{T}$ 。系数矩阵为 $M = b I + 1 a^{T}$ 。

向量 $1$ 对应特征值 $b + S$ ，而满足 $a^{T} x = 0$ 的 $(n - 1)$ 维子空间对应特征值 $b$ ，故 $det M = b^{n - 1} (b + S)$ 。

齐次方程组仅有零解当且仅当系数矩阵可逆，即 $b^{n - 1} (b + S) \neq = 0$ 。

第 2 问

沿用第一问的 $a, S$ ，记 $e_{i}$ 为第 $i$ 个分量为 $1$ 、其余分量为 $0$ 的 $n$ 维标准单位向量。令 $T = a^{T} x = j = 1 \sum n a_{j} x_{j}$ ，原方程组的第 $i$ 个方程都可写成 $b x_{i} + T = 0$ 。

当 $n \geq 2$ 且 $b = 0$ 时，条件为 $a^{T} x = 0$ 。任选 $a_{k} \neq = 0$ ，则 $e_{i} - (\frac{a _{i}}{a _{k}}) e_{k}$ （ $i \neq = k$ ）均在零空间中并线性无关，构成基础解系。

当 $b = - S$ 时， $b \neq = 0$ ，由 $b x_{i} + T = 0$ 可知所有 $x_{i}$ 相等，零空间为 $span {(1, \dots, 1)^{T}}$ 。

由于 $S \neq = 0$ ，两种情形不重合；当 $n = 1$ 时行列式为 $b + S$ ，所以只有 $b = - S$ 这一种非零解情形。