取开始注液且液面在底面时为 $t=0$。由底面半径为 $2$，初始液面面积为 $4\pi$。

液面面积以 $\pi \frac{{\mathrm{m}}^2}{\min }$ 匀速增加，所以 $A(t)=4\pi +\pi t$。在液面高度 $y$ 时，$A(t)=\pi \varphi (y{)}^2$。

因此 $\pi \varphi (y{)}^2=4\pi +\pi t$，即 $t=\varphi (y{)}^2-4$。

液面高度为 $y$ 时，液体体积的变化率为 $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=\pi \varphi (y{)}^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=3$。

液面面积 $A=\pi \varphi (y{)}^2$，故

消去 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$，得 $\frac{{\varphi }^{\prime }(y)}{\varphi (y)}=\frac{\pi }{6}$。

积分并用底面条件 $\varphi (0)=2$，得到 $\varphi (y)=2{\mathrm{e}}^{\frac{\pi y}{6}}$，$y\ge 0$。