2016 · 数学一 · 第 15 题 · 解答题

已知平面区域

D = {(r, θ) ∣ 2 \leq r \leq 2 (1 + cos θ), - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}}

，计算二重积分

\iint_{D} x d x d y

。

答案

$5 π + \frac{32}{3}$

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在 $∣ θ ∣ \leq \frac{π}{2}$ 时 $cos θ \geq 0$ ，外边界 $2 (1 + cos θ) \geq 2$ 。由 $x = r cos θ$ 及面积元 $r d r d θ$ ，

I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{2}^{2 (1 + c o s θ)} r^{2} cos θ d r = \frac{8}{3} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos θ [(1 + cos θ)^{3} - 1] d θ = \frac{16}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (3 cos^{2} θ + 3 cos^{3} θ + cos^{4} θ) d θ .

最后一步用了偶性并展开。由余弦幂积分公式， $\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{2} θ d θ = \frac{π}{4}$ ， $\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{3} θ d θ = \frac{2}{3}$ ， $\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{4} θ d θ = \frac{3 π}{16}$ ，故

I = \frac{16}{3} (\frac{3 π}{4} + 2 + \frac{3 π}{16}) = 5 π + \frac{32}{3} .

也可作差。记 $D_{1}$ 为 $∣ θ ∣ \leq \frac{π}{2}$ 、 $0 \leq r \leq 2 (1 + cos θ)$ ， $D_{2}$ 为右半圆盘 $∣ θ ∣ \leq \frac{π}{2}$ 、 $0 \leq r \leq 2$ ，则 $D = D_{1} ∖ D_{2}$ 。分别积分：

\iint_{D_{1}} x d x d y \iint_{D_{2}} x d x d y = \frac{16}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos θ (1 + cos θ)^{3} d θ = \frac{16}{3} (1 + \frac{3 π}{4} + 2 + \frac{3 π}{16}) = 16 + 5 π, = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos θ d θ \int_{0}^{2} r^{2} d r = \frac{16}{3} .

相减得 $I = 16 + 5 π - \frac{16}{3} = 5 π + \frac{32}{3}$ 。