在圆域上使用极坐标，并令 $u=\frac{r}{2}$，则

因此 $f(t)={\mathrm{e}}^{4\pi t^2}+8\pi {\int }_0^{t}uf(u)\mathrm{d}u$，特别地 $f(0)=1$。右端可微，求导得

乘积分因子 ${\mathrm{e}}^{-4\pi t^2}$，有

从 $0$ 积分到 $t$，得到 $f(t){\mathrm{e}}^{-4\pi t^2}=1+4\pi t^2$。

故 $f(t)=(1+4\pi t^2){\mathrm{e}}^{4\pi t^2}$。代回原积分方程可见积分项为 $4\pi t^2{\mathrm{e}}^{4\pi t^2}$，验证成立。