1992 · 数学一 · 第 2 题 · 填空题

函数

u = ln (x^{2} + y^{2} + z^{2})

在点

M (1, 2, - 2)

处的梯度

grad u ∣_{M} =

。

答案

$(\frac{2}{9}, \frac{4}{9}, - \frac{4}{9})$

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由 $u = ln (x^{2} + y^{2} + z^{2})$ ，

grad u = (\frac{2 x}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}, \frac{2 y}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}, \frac{2 z}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}) .

在 $M (1, 2, - 2)$ 处，分母为 $1 + 4 + 4 = 9$ ，故

grad u ∣_{M} = (\frac{2}{9}, \frac{4}{9}, - \frac{4}{9}) .