系数矩阵的行列式为 $\det A=(\lambda -1{)}^2$。若 $A$ 可逆，则由 $AB=0$ 必有 $B=0$，与题设矛盾，故 $\lambda =1$。

若 $\det B\ne 0$，则 $B$ 可逆，由 $AB=0$ 可推出 $A=0$，但 $\lambda =1$ 时 $A$ 为全 1 矩阵，并非零矩阵。因此 $\det B=0$。应选 C。