令 $t=h^2$，则 $t\to 0^{+}$，题设给出 $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(t)}{t}=1$。

由 $f$ 在 $0$ 处连续，$f(0)=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)=0$。同时 $f_{+}^{\prime }(0)=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(t)-f(0)}{t}=1$。

所以必然成立的是 $f(0)=0$ 且 $f_{+}^{\prime }(0)$ 存在，即选 $C$。