$A{B}^{-1}=P_{ij}$，其中$P_{ij}$为交换第$i,j$个坐标的初等置换矩阵。

设 $P_{ij}$ 为交换第 $i,j$ 行的初等矩阵，则 $B=P_{ij}A$。因 $P_{ij}^{-1}=P_{ij}$，且 $A$ 可逆，所以 $B$ 是两个可逆矩阵之积，故可逆。

由 $B=P_{ij}A$，有 $B^{-1}=A^{-1}{P}_{ij}^{-1}=A^{-1}{P}_{ij}$。因此 $A{B}^{-1}=P_{ij}$。该矩阵由单位矩阵交换第 $i,j$ 行（或列）得到。