1991 · 数学三 · 第 17 题 · 解答题

令 $t = \frac{1}{x}$ 。由于 $x > 0$ ，故 $t > 0$ ，且原不等式等价于

ln (1 + t) > \frac{t}{1 + t} .

设

h (t) = ln (1 + t) - \frac{t}{1 + t} (t \geq 0) .

则 $h (0) = 0$ ，且当 $t > 0$ 时

h^{'} (t) = \frac{1}{1 + t} - \frac{1}{( 1 + t ) ^{2}} = \frac{t}{( 1 + t ) ^{2}} > 0.

所以 $h (t) > h (0) = 0$ ，从而

ln (1 + \frac{1}{x}) > \frac{1}{1 + x} (x > 0) .

答案