2014 · 数学一 · 第 17 题 · 解答题

令 $u = e^{x} cos y$ 。由链式法则， $z_{x} = f^{'} (u) e^{x} cos y$ ， $z_{y} = - f^{'} (u) e^{x} sin y$ 。再次求导，保留乘积法则的两部分：

z_{xx} z_{y y} = f^{''} (u) e^{2 x} cos^{2} y + f^{'} (u) e^{x} cos y, = f^{''} (u) e^{2 x} sin^{2} y - f^{'} (u) e^{x} cos y .

相加时 $f^{'}$ 项相消，且 $cos^{2} y + sin^{2} y = 1$ ，所以 $z_{xx} + z_{y y} = f^{''} (u) e^{2 x}$ 。与已知等式比较得

f^{''} (u) e^{2 x} = [4 f (u) + u] e^{2 x} .

因为 $e^{2 x} > 0$ ，约去后得到 $f^{''} (u) - 4 f (u) = u$ 。变量 $u = e^{x} cos y$ 可取任意实数，故这是关于 $u$ 的微分方程。
齐次方程的特征根为 $r = \pm 2$ ，齐次通解为 $C_{1} e^{2 u} + C_{2} e^{- 2 u}$ 。设非齐次特解 $f^{*} (u) = A u + B$ ，代入得 $- 4 (A u + B) = u$ ，所以 $A = - \frac{1}{4}$ 、 $B = 0$ 。于是

f (u) = C_{1} e^{2 u} + C_{2} e^{- 2 u} - \frac{u}{4} .

由 $f (0) = 0$ 得 $C_{1} + C_{2} = 0$ ；又 $f^{'} (u) = 2 C_{1} e^{2 u} - 2 C_{2} e^{- 2 u} - \frac{1}{4}$ ，由 $f^{'} (0) = 0$ 得 $2 C_{1} - 2 C_{2} = \frac{1}{4}$ 。解得 $C_{1} = \frac{1}{16}$ 、 $C_{2} = - \frac{1}{16}$ ，故

f (u) = \frac{e ^{2 u} - e ^{- 2 u}}{16} - \frac{u}{4} .

此式满足 $f (0) = f^{'} (0) = 0$ ，且 $f^{''} (u) = \frac{( e ^{2 u} - e ^{- 2 u} )}{4} = 4 f (u) + u$ ，与原条件一致。

答案