由于 $\lambda =2$ 是二重特征值，且 $A$ 有三个线性无关的特征向量，故 $\lambda =2$ 的几何重数为 $2$，即 $\mathrm{rank}(A-2E)=1$。

有

。第三行是第一行的 $3$ 倍；要使秩为 $1$，第二行必须是第一行的 $-2$ 倍，因此 $x=2$，$y=-2$。

此时 $\lambda =2$ 的特征子空间由 $-{\xi }_1-{\xi }_2+{\xi }_3=0$ 给出，可取两个线性无关的特征向量 $v_1=(1,0,1{)}^T$、$v_2=(0,1,1{)}^T$。

矩阵的迹为 $10$，故第三个特征值为 $10-2-2=6$。解 $(A-6E)v=0$ 可取 $v_3=(1,-2,3{)}^T$。

令

。因 $\det P=4\ne 0$，$P$ 可逆，并且 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(2,2,6)$。