（1）等价关系要求 $k\ne 0$ 且 $\frac{f(x)}{(k{x}^3)}\to 1$，故 $\frac{f(x)}{x}\to 0$、$\frac{f(x)}{x^2}\to 0$。函数在零点附近光滑，且 $f(0)=0$，逐阶求导得

（2）由导数定义 $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=0$，而 $f^{\prime }(0)=1+a$，所以 $a=-1$。
已知 $f^{\prime }(0)=0$，两次使用洛必达法则时，最终导数比因连续性有极限，故

于是 $b=\frac{a}{2}=-\frac{1}{2}$。
（3）此时 $f(0)=f^{\prime }(0)=f^{\prime \prime }(0)=0$，且 $f^{\prime \prime \prime }(0)=2a=-2$。连续三次用洛必达法则，有 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^3}=\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{6}=-\frac{1}{3}$。另一方面题设给出这个极限等于 $k$，所以 $k=-\frac{1}{3}\ne 0$，所得参数也确实使 $\frac{f(x)}{(k{x}^3)}\to 1$。
不能仅因原商的极限存在就反向断言导数之比也有同一极限；以上先确定低阶导数为零，再核实后续导数比极限存在。

（1）展开到三阶并保留余项：$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，$x\sin x=x^2+o(x^3)$。后者没有三次项，下一项为四次项。
（2）代入并合并同次幂，得到

要使 $f(x)=k{x}^3+o(x^3)$，依次比较一、二、三次项，得 $1+a=0$、$b-\frac{a}{2}=0$、$k=\frac{a}{3}$，所以 $a=-1,b=-\frac{1}{2},k=-\frac{1}{3}$。因为 $k\ne 0$，将展开式除以 $k{x}^3$ 即趋于 $1$，同时验证了充分性。