先代入 $x=y=\frac{1}{2}$，得到 ${\mathrm{e}}^z+z=1$。$z=0$ 满足方程，且 $({\mathrm{e}}^z+z{)}^{\prime }={\mathrm{e}}^z+1>0$，故这是唯一解，即 $z(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=0$。
令 $F(x,y,z)={\mathrm{e}}^{2yz}+x+y^2+z-\frac{7}{4}$。将三变量视为独立变量求偏导，得 $F_x=1$、$F_y=2z{\mathrm{e}}^{2yz}+2y$、$F_z=2y{\mathrm{e}}^{2yz}+1$。在 $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$ 处，它们分别为 $1,1,2$。
$F$ 的偏导连续，且 $F_z=2\ne 0$，隐函数在该点附近可微。因此 $z_x=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{1}{2}$、$z_y=-\frac{F_y}{F_z}=-\frac{1}{2}$，所求为 $\mathrm{d}z=-\frac{1}{2}(\mathrm{d}x+\mathrm{d}y)$。

代入给定点，方程化为 ${\mathrm{e}}^z+z=1$；左侧严格递增，故唯一解为 $z=0$。原方程对 $z$ 的偏导在 $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$ 为 $2\ne 0$，偏导连续，可取可微隐函数分支。
对原方程取全微分，得到

代入 $x=y=\frac{1}{2},z=0$，得 $2\mathrm{d}z+\mathrm{d}x+\mathrm{d}y=0$，所以 $\mathrm{d}z=-\frac{1}{2}(\mathrm{d}x+\mathrm{d}y)$。