1996 · 数学三 · 第 9 题 · 选择题

设有任意两个

n

维向量组

α_{1}, \dots, α_{m}

和

β_{1}, \dots, β_{m}

，若存在两组不全为零的数

λ_{1}, \dots, λ_{m}

和

k_{1}, \dots, k_{m}

，使

(λ_{1} + k_{1}) α_{1} + \dots + (λ_{m} + k_{m}) α_{m} + (λ_{1} - k_{1}) β_{1} + \dots + (λ_{m} - k_{m}) β_{m} = 0

，则（　　）。

A
$α_{1}, \dots, α_{m}$ 和 $β_{1}, \dots, β_{m}$ 都线性相关
B
$α_{1}, \dots, α_{m}$ 和 $β_{1}, \dots, β_{m}$ 都线性无关
C
$α_{1} + β_{1}, \dots, α_{m} + β_{m}, α_{1} - β_{1}, \dots, α_{m} - β_{m}$ 线性无关
D
$α_{1} + β_{1}, \dots, α_{m} + β_{m}, α_{1} - β_{1}, \dots, α_{m} - β_{m}$ 线性相关
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答案

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题设等式可重写为

i = 1 \sum m λ_{i} (α_{i} + β_{i}) + i = 1 \sum m k_{i} (α_{i} - β_{i}) = 0.

两组系数不全为零，因此这 $2 m$ 个向量存在非平凡线性关系，即向量组线性相关，选 D。