第 1 空：

由于各样本独立且方差均为 $4$，有 $X_1-2X_2\sim N(0,4(1^2+(-2{)}^2))=N(0,20)$。

故 $\frac{(X_1-2X_2{)}^2}{20}\sim {\chi }_1^2$，所以 $a=\frac{1}{20}$。

第 2 空：

同理，$3X_3-4X_4\sim N(0,4(3^2+(-4{)}^2))=N(0,100)$。

故 $\frac{(3X_3-4X_4{)}^2}{100}\sim {\chi }_1^2$，所以 $b=\frac{1}{100}$。

第 3 空：

前两个空中的两个标准正态平方分别只涉及 $X_1,X_2$ 与 $X_3,X_4$，因而相互独立。

两个独立的 ${\chi }_1^2$ 变量之和服从 ${\chi }_2^2$，故自由度为 $2$。