2001 · 数学一 · 第 14 题 · 解答题

计算

I = \oint_{L} (y^{2} - z^{2}) d x + (2 z^{2} - x^{2}) d y + (3 x^{2} - y^{2}) d z

，其中

L

是平面

x + y + z = 2

与柱面

∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 1

的交线；从

z

轴正向看去，

L

为逆时针方向。

答案

$- 24$

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记向量场为 $F = (y^{2} - z^{2}, 2 z^{2} - x^{2}, 3 x^{2} - y^{2})$ ，则

\nabla \times F = (- 2 y - 4 z, - 2 z - 6 x, - 2 x - 2 y) .

题设方向对应平面 $z = 2 - x - y$ 的向上法向，故向量面积元为 $(1, 1, 1) d x d y$ ，其投影区域为 $D : ∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 1$ 。

代入 $z = 2 - x - y$ 后，被积函数为 $- 2 x + 2 y - 12$ 。区域 $D$ 关于两坐标轴对称且面积为 $2$ ，所以一次项积分为零， $I = - 12 \times 2 = - 24$ 。