2020 · 数学二 · 第 19 题 · 解答题

设平面区域

D

由直线

x = 1

，

x = 2

，

y = x

与

x

轴围成，计算

\iint_{D} \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x} d x d y

。

答案

$\frac{3}{4} (2 + ln (1 + 2))$

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区域为 $1 \leq x \leq 2$ ， $0 \leq y \leq x$ 。令 $x = r cos θ$ ， $y = r sin θ$ ，则 $0 \leq θ \leq \frac{π}{4}$ ， $sec θ \leq r \leq 2 sec θ$ ，且被积函数化为 $sec θ$ 。因此

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{s e c θ}^{2 s e c θ} r sec θ d r = \frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} sec^{3} θ d θ .

记 $J = \int sec^{3} θ d θ$ 。对 $sec θ d (tan θ)$ 分部积分，并用 $tan^{2} θ = sec^{2} θ - 1$ ，有

J = sec θ tan θ - \int sec θ tan^{2} θ d θ = sec θ tan θ - J + \int sec θ d θ .

故 $J = \frac{[ sec θ tan θ + ln ∣ sec θ + tan θ ∣ ]}{2} + C$ 。在 $0 \leq θ \leq \frac{π}{4}$ 上括号内对数的真数为正，代入上下限得

I = \frac{3}{4} [sec θ tan θ + ln (sec θ + tan θ)]_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{3}{4} (2 + ln (1 + 2)) .

直接使用直角坐标，由 $x > 0$ ，固定 $x$ 先对 $y$ 积分：

\int_{0}^{x} x^{2} + y^{2} d y = [\frac{y}{2} x^{2} + y^{2} + \frac{x ^{2}}{2} ln (y + x^{2} + y^{2})]_{0}^{x} = \frac{x ^{2}}{2} [2 + ln (1 + 2)] .

除以 $x$ 后再积分，得到

I = \frac{2 + ln ( 1 + 2 )}{2} \int_{1}^{2} x d x = \frac{3}{4} [2 + ln (1 + 2)] .

这里利用了 $ln (x + 2 x) - ln x = ln (1 + 2)$ ，而题设 $1 \leq x \leq 2$ 保证对数拆分合法。