根式要求 $x\le 0$，以下在 $x<0$ 上计算。因 $e^x\mathrm{d}x=\mathrm{d}(e^x)$，取 $u=\arcsin \sqrt{1-e^{2x}}$、$v=e^x$。记 $w=\sqrt{1-e^{2x}}$，则 $\sqrt{1-w^2}=e^x>0$，所以

$$u^{\prime }=\frac{w^{\prime }}{\sqrt{1-w^2}}=\frac{-e^{2x}}{e^x\sqrt{1-e^{2x}}}=-\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}.$$

分部积分得到

$$I=e^x\arcsin \sqrt{1-e^{2x}}+\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}\mathrm{d}x.$$

剩余积分令 $s=e^x$，则 $\mathrm{d}s=e^x\mathrm{d}x$，故

$$\begin{array}{rl}\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}\mathrm{d}x& =\int \frac{s}{\sqrt{1-s^2}}\mathrm{d}s\\ & =-\sqrt{1-s^2}+C=-\sqrt{1-e^{2x}}+C.\end{array}$$

因此 $I=e^x\arcsin \sqrt{1-e^{2x}}-\sqrt{1-e^{2x}}+C$。
求导复核：乘积项导数为原被积函数减 $\frac{e^{2x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}$，负根式项导数为 $\frac{e^{2x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}$，两项相消。

令 $e^x=\sin t$，取 $0<t\le \frac{\pi }{2}$，则 $e^x\mathrm{d}x=\cos t\mathrm{d}t$，$\sqrt{1-e^{2x}}=\cos t\ge 0$。由于 $\frac{\pi }{2}-t$ 位于反正弦的主值范围内，有 $\arcsin (\cos t)=\frac{\pi }{2}-t$。于是

$$\begin{array}{rl}I& =\int \left(\frac{\pi }{2}-t\right)\cos t\mathrm{d}t\\ & =\left(\frac{\pi }{2}-t\right)\sin t+\int \sin t\mathrm{d}t\\ & =\left(\frac{\pi }{2}-t\right)\sin t-\cos t+C.\end{array}$$

代回 $\sin t=e^x$、$\cos t=\sqrt{1-e^{2x}}$、$\frac{\pi }{2}-t=\arcsin \sqrt{1-e^{2x}}$，得到同一结果。
也可令 $s=e^x\in (0,1]$，用 $\arcsin \sqrt{1-s^2}=\arccos s$ 将原式化为 $\int \arccos s\mathrm{d}s=s\arccos s-\sqrt{1-s^2}+C$。