在 $x=1$ 附近，$x+1>0$。当 $x>1$ 时，$f(x)=x+1$；当 $x<1$ 时，$f(x)=-(x+1)$。

所以 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=-2$，而 $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=2=f(1)$。左右极限不相等，函数在 $x=1$ 处不连续，选择 A。