1993 · 数学一 · 第 3 题 · 填空题

设函数

f (x) = π x + x^{2}

（

- π < x < π

）的傅里叶级数展开式为

\frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x)

，则其中系数

b_{3}

的值为。

答案

$\frac{2 π}{3}$

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$b_{3} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} (π x + x^{2}) sin 3 x d x$ 。其中 $x^{2} sin 3 x$ 为奇函数，积分为零。

于是

b_{3} = \int_{- π}^{π} x sin 3 x d x = 2 \int_{0}^{π} x sin 3 x d x = \frac{2 π}{3} .