记左边矩阵为 $A$、右边矩阵为 $B$。若 $n=1$，两矩阵均为 $(1)$，结论显然成立。以下设 $n\ge 2$。
$A$ 的所有行相同且非零，故 $r(A)=1$，零空间维数为 $n-1$。又令 $u=(1,1,\dots ,1{)}^T$，可知 $Au=nu$。所以 $A$ 有 $n-1$ 个线性无关的零特征值特征向量，以及属于非零特征值 $n$ 的特征向量 $u$，这些向量合起来线性无关。因此 $A$ 可对角化，且相似于 $\Lambda =\mathrm{diag}(n,0,\dots ,0)$。
$B$ 只有最后一列非零，故 $r(B)=1$，零空间维数也为 $n-1$。令 $v=(1,2,\dots ,n{)}^T$，则 $Bv=nv$。同理，$B$ 也有 $n$ 个线性无关的特征向量，并相似于同一个 $\Lambda$。
若 $P_1^{-1}A{P}_1=\Lambda =P_2^{-1}B{P}_2$，令可逆矩阵 $P=P_1{P}_2^{-1}$，则

所以 $A$ 与 $B$ 相似。关键不仅是特征值相同，还要证明两者均能对角化。

令 $u=(1,1,\dots ,1{)}^T$、$v=(1,2,\dots ,n{)}^T$，$e_n$ 为第 $n$ 个标准单位向量，则 $A=u{u}^T,B=v{e}_n^T$。
因为 $u^{T}u=n,e_n^{T}v=n$，有 $A^2=nA,B^2=nB$，所以两矩阵都以 $f(t)=t(t-n)$ 为零化多项式。由于正整数 $n\ne 0$，该多项式分解为两个互异的一次因子，故两矩阵均可对角化，特征值只可能是 $0,n$。
又 $r(A)=r(B)=1$，对角化后均恰有一个非零对角元，该元只能是 $n$，其余 $n-1$ 个为 $0$。因此两矩阵均相似于 $\mathrm{diag}(n,0,\dots ,0)$，从而彼此相似。$n=1$ 时对角阵中没有零项，结论仍成立。