2003 · 数学一 · 第 18 题 · 解答题

设函数

f (x)

连续且恒大于零，

F (t) = \frac{∭ _{Ω (t)} f ( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) d V}{\iint _{D (t)} f ( x ^{2} + y ^{2} ) d σ}

，

G (t) = \frac{\iint _{D (t)} f ( x ^{2} + y ^{2} ) d σ}{\int _{- t}^{t} f ( x ^{2} ) d x}

，其中

Ω (t) = {(x, y, z) ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq t^{2}}

，

D (t) = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq t^{2}}

(1) 讨论 $F (t)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 内的单调性；
(2) 证明当 $t > 0$ 时， $F (t) > \frac{2}{π} G (t)$ 。

答案

第 1 问

$F (t) 在 (0, + \infty) 内严格递增$

第 2 问

证明见解析

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第 1 问

令 $g (r) = f (r^{2}) > 0$ ， $A (t) = \int_{0}^{t} g (r) r^{2} d r$ ， $B (t) = \int_{0}^{t} g (r) r d r$ 。球坐标和极坐标给出 $F (t) = \frac{2 A ( t )}{B ( t )}$ 。

有 $F^{'} (t) = \frac{2 g ( t ) t ( tB ( t ) - A ( t ))}{B ( t ) ^{2}}$ ，而 $tB (t) - A (t) = \int_{0}^{t} g (r) r (t - r) d r > 0$ 。

故对所有 $t > 0$ ， $F^{'} (t) > 0$ ，所以 $F (t)$ 严格递增。

第 2 问

沿用第一问定义的 $g, A (t), B (t)$ 。再令 $C (t) = \int_{0}^{t} g (r) d r$ 。由极坐标， $G (t) = π \frac{B ( t )}{C ( t )}$ ，从而 $F (t) - \frac{2}{π} G (t) = 2 \frac{A ( t ) C ( t ) - B ( t ) ^{2}}{B ( t ) C ( t )}$ 。

加权柯西不等式给出 $B (t)^{2} = (\int_{0}^{t} g (r) r g (r) d r)^{2} \leq A (t) C (t)$ 。由于 $g > 0$ 且 $r$ 在区间上不为常数，等号不成立。

因此 $F (t) - \frac{2}{π} G (t) > 0$ ，即 $F (t) > \frac{2}{π} G (t)$ 。