令 $x=0$ 代入原方程，得 ${\mathrm{e}}^{y(0)}-1=0$，所以 $y(0)=0$。

对原方程求导：${\mathrm{e}}^y{y}^{\prime }+6y+6x{y}^{\prime }+2x=0$。代入 $x=0,y(0)=0$，得 $y^{\prime }(0)=0$。

再次求导得 ${\mathrm{e}}^y((y^{\prime }{)}^2+y^{\prime \prime })+12y^{\prime }+6x{y}^{\prime \prime }+2=0$。在 $x=0$ 处代入 $y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$，得到 $y^{\prime \prime }(0)+2=0$。因此 $y^{\prime \prime }(0)=-2$。