2015 · 数学二 · 第 22 题 · 解答题

设矩阵

A = a 10 1 a 1 0 - 1 a

且

A^{3} = O

。

(1) 求 $a$ 的值；
(2) 若矩阵 $X$ 满足 $X - X A^{2} - A X + A X A^{2} = E$ ， $E$ 为 $3$ 阶单位阵，求 $X$ 。

答案

第 1 问

$0$

第 2 问

$X = 312111 - 2 - 1 - 1$

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第 1 问

由 $A^{3} = O$ ，取行列式得 $∣ A ∣^{3} = 0$ ，因此 $∣ A ∣ = 0$ 。按第一行展开，

∣ A ∣ = a (a^{2} + 1) - a = a^{3},

故 $a = 0$ 。此时

A = 010101 0 - 1 0, A^{2} = 101000 - 1 0 - 1 .

由于 $A$ 的第一、三行相同， $A^{2} A$ 的第一、三行均为这两行之差，第二行为零，故 $A^{3} = O$ ，确实满足原条件。

第 2 问

（1）整理方程。保持矩阵次序提取左右公因子，

X - X A^{2} - A X + A X A^{2} = X (E - A^{2}) - A X (E - A^{2}) = (E - A) X (E - A^{2}) .

所以原方程为 $(E - A) X (E - A^{2}) = E$ 。

（2）证明外侧矩阵可逆。由 $A^{3} = O$ ，也有 $A^{4} = O$ ，因此 $(E - A) (E + A + A^{2}) = E$ 、 $(E - A^{2}) (E + A^{2}) = E$ ，故 $(E - A)^{- 1} = E + A + A^{2}$ 、 $(E - A^{2})^{- 1} = E + A^{2}$ 。

（3）求解。分别左乘、右乘相应逆矩阵，得唯一解

X = (E + A + A^{2}) (E + A^{2}) = E + A + 2 A^{2} + A^{3} + A^{4} = E + A + 2 A^{2} = 312111 - 2 - 1 - 1 .

利用 $(E + A + A^{2}) (E - A) = E$ 及 $(E + A^{2}) (E - A^{2}) = E$ 可回代验证原方程成立。