（1）令 $u=x^2$、$v=2^x=e^{x\ln 2}$。有 $u^{\prime }=2x$、$u^{\prime \prime }=2$、$u^{(k)}=0$（$k\ge 3$），且 $v^{(m)}=2^x(\ln 2{)}^m$。
（2）对 $n\ge 2$，莱布尼茨公式只留下三项：

（3）代入 $x=0$，前两项为零，故 $f^{(n)}(0)=n(n-1)(\ln 2{)}^{n-2}$。$n=1$ 时直接求导得 $f^{\prime }(0)=0$，上述答案也成立，因为 $\ln 2\ne 0$。

指数函数的幂级数在所有实数上收敛，故 $f(x)=x^2{e}^{x\ln 2}=\sum _{m=0}^{\infty }[\frac{(\ln 2{)}^m}{m!}]x^{m+2}$。当 $n\ge 2$，$x^n$ 的系数为 $\frac{(\ln 2{)}^{n-2}}{(n-2)!}$，所以 $f^{(n)}(0)=\frac{n!(\ln 2{)}^{n-2}}{(n-2)!}=n(n-1)(\ln 2{)}^{n-2}$。没有一次项，故 $f^{\prime }(0)=0$，也与通式一致。