设两个函数在 $(a,b)$ 内取得的相等最大值为 $M$，分别在 $u,v\in (a,b)$ 取得，即 $f(u)=g(v)=M$。令 $h(x)=f(x)-g(x)$，则 $h$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内二阶可导，并且 $h(a)=h(b)=0$。

由最大值的定义，$g(u)\le M=f(u)$，故 $h(u)\ge 0$；同理 $f(v)\le M=g(v)$，故 $h(v)\le 0$。若其中一个等于零，便已有内点零点；否则由介值定理，在 $u,v$ 之间存在零点。因此总存在 $c\in (a,b)$ 使 $h(c)=0$。当 $u=v$ 时，直接取 $c=u$ 即可。

由 $h(a)=h(c)=h(b)=0$，分别在 $[a,c]$、$[c,b]$ 上使用罗尔定理，存在 $r\in (a,c)$、$s\in (c,b)$ 使 $h^{\prime }(r)=h^{\prime }(s)=0$。又因 $h$ 在 $(a,b)$ 内二阶可导，$h^{\prime }$ 在 $[r,s]$ 上连续、在 $(r,s)$ 内可导，再用罗尔定理，存在 $\xi \in (r,s)\subset (a,b)$ 使

即 $f^{\prime \prime }(\xi )=g^{\prime \prime }(\xi )$，证毕。