1997 · 数学三 · 第 6 题 · 选择题

设

f (x) = \int_{0}^{1 - c o s x} sin t^{2} d t

，

g (x) = \frac{x ^{5}}{5} + \frac{x ^{6}}{6}

，则当

x \to 0

时，

f (x)

是

g (x)

的（　　）。

答案

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当 $x \to 0$ 时， $1 - cos x \sim \frac{x ^{2}}{2}$ ，且 $sin t^{2} \sim t^{2}$ 。因此

f (x) \sim \int_{0}^{1 - c o s x} t^{2} d t = \frac{( 1 - cos x ) ^{3}}{3} \sim \frac{x ^{6}}{24} .

另一方面， $g (x) = \frac{x ^{5}}{5} + \frac{x ^{6}}{6} \sim \frac{x ^{5}}{5}$ 。

故 $\frac{f ( x )}{g ( x )} \sim \frac{5 x}{24} \to 0$ ，所以 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的高阶无穷小，选择 B。