矩阵 $B$ 在向量 $(1,0,1{)}^T$ 和 $(0,1,0{)}^T$ 上的特征值为 $1$，在 $(1,0,-1{)}^T$ 上的特征值为 $-1$。这三个特征向量线性无关，故 $B$ 可对角化，$A$ 也相似于 $\mathrm{diag}(1,1,-1)$。

相似矩阵 $A$ 具有相同的特征值及重数。因此 $A-2E$ 可逆，$r(A-2E)=3$；而 $A-E$ 的零空间维数为 $2$，故 $r(A-E)=1$。

所求秩和为 $3+1=4$，选 C。