（1）由偏导还原函数。将 $x$ 看成参数，对 $f_y=2(y+1)$ 关于 $y$ 积分，得 $f(x,y)=(y+1{)}^2+\phi (x)$。令 $x=y$，与题设比较得到 $\phi (y)=-(2-y)\ln y$，因此

这里积分后的待定项是 $x$ 的函数，不能直接写成常数。所得式的 $y$ 偏导和对角线取值均符合条件。
（2）确定围成的区域。曲线方程为 $(y+1{)}^2=(2-x)\ln x$。右侧必须非负：在 $0<x<1$ 和 $x>2$ 时为负，在 $1\le x\le 2$ 时非负。所以曲线的上下两支为 $y=-1\pm \sqrt{(2-x)\ln x}$，在 $(1,-1)$、$(2,-1)$ 处相接，关于 $y=-1$ 对称。
（3）建立体积积分。绕 $y=-1$ 旋转时，固定 $x$ 的竖直线段扫成实心圆盘，半径为 $R(x)=\sqrt{(2-x)\ln x}$。上下两支扫出同一圆盘，不能把它们的半径平方相减。因此

（4）分部积分，取 $u=\ln x$、$\mathrm{d}v=(2-x)\mathrm{d}x$，则 $v=2x-\frac{x^2}{2}$，故

所以所求体积为 $V=\pi (2\ln 2-\frac{5}{4})$。