2021 · 数学二 · 第 5 题 · 选择题

设函数

f (x) = sec x

在

x = 0

处的 2 次泰勒多项式为

1 + a x + b x^{2}

，则（　　）。

A
$a = 1, b = - \frac{1}{2}$
B
$a = 1, b = \frac{1}{2}$
C
$a = 0, b = - \frac{1}{2}$
D
$a = 0, b = \frac{1}{2}$
正确答案

答案

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（1）由 $cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ ，令 $u = 1 - cos x = \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ 。利用 $\frac{1}{( 1 - u )} = 1 + u + O (u^{2})$ ，且 $u^{2} = O (x^{4}) = o (x^{2})$ ，得到

sec x = \frac{1}{1 - u} = 1 + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2}) .

（2）与 $1 + a x + b x^{2}$ 比较系数，得 $a = 0, b = \frac{1}{2}$ ，选 D。也可先由 $sec x$ 为偶函数排除 A、B；C 中二次项的负号是余弦函数的系数，取倒数后此处应为正号。

直接求导： $f^{'} (x) = sec x tan x$ ， $f^{''} (x) = sec x tan^{2} x + sec^{3} x$ 。故 $f (0) = 1, f^{'} (0) = 0, f^{''} (0) = 1$ 。二次泰勒多项式为 $f (0) + f^{'} (0) x + f^{''} (0) \frac{x ^{2}}{2} = 1 + \frac{x ^{2}}{2}$ ，所以 $a = 0, b = \frac{1}{2}$ ，选 D。乘积求导的两项都应保留，即使第一项在零点恰为零。