1995 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

设

f (x)

在区间

[a, b]

上连续，在

(a, b)

内可导。证明：在

(a, b)

内至少存在一点

ξ

，使得

\frac{b f ( b ) - a f ( a )}{b - a} = f (ξ) + ξ f^{'} (ξ)

。

答案

证明见解析

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构造 $g (x) = x f (x)$ 。由题设， $g$ 在 $[a, b]$ 上连续、在 $(a, b)$ 内可导。

由拉格朗日中值定理，至少存在 $ξ \in (a, b)$ ，使

\frac{g ( b ) - g ( a )}{b - a} = g^{'} (ξ) .

代入 $g (b) = b f (b)$ 、 $g (a) = a f (a)$ 以及 $g^{'} (ξ) = f (ξ) + ξ f^{'} (ξ)$ ，即得

\frac{b f ( b ) - a f ( a )}{b - a} = f (ξ) + ξ f^{'} (ξ) .