2010 · 数学二 · 第 18 题 · 解答题

一个高为

l

的柱体形贮油罐，底面是长轴为

2 a

、短轴为

2 b

的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为

\frac{3}{2} b

时（如图），计算油的质量。长度单位为

m

，质量单位为

kg

，油的密度为常数

ρ \frac{kg}{m ^{3}}

。

答案

$m = (\frac{2 π}{3} + \frac{3}{4}) ab l ρ kg$ 。

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（1）按题图取椭圆中心为原点，长轴沿水平 $x$ 轴、短轴沿竖直 $y$ 轴，截面边界为 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 。罐底为 $y = - b$ ，油面距罐底 $\frac{3 b}{2}$ ，故油面为 $y = \frac{b}{2}$ 。
（2）高度 $y$ 处的水平弦长为 $2 a 1 - \frac{y ^{2}}{b ^{2}}$ ，所以油所占截面面积为

S = 2 a \int_{- b}^{\frac{b}{2}} 1 - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} d y .

令 $y = b sin t$ ， $d y = b cos t d t$ ，新积分限为 $- \frac{π}{2}$ 与 $\frac{π}{6}$ 。该区间 $cos t \geq 0$ ，故 $1 - sin^{2} t = cos t$ ，于是

S = 2 ab \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} cos^{2} t d t = ab [t + \frac{sin 2 t}{2}]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} = ab (\frac{π}{6} + \frac{3}{4} + \frac{π}{2}) = ab (\frac{2 π}{3} + \frac{3}{4}) .

（3）油罐沿轴向截面相同，轴向长度为 $l$ ，故油的体积 $V = l S$ ，质量为

m = ρ V = (\frac{2 π}{3} + \frac{3}{4}) ab l ρ kg .

也可先求上方空气部分的截面面积，再用整个椭圆面积相减。按图取椭圆方程 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ，油面为 $y = \frac{b}{2}$ ，故空气部分对应 $\frac{b}{2} \leq y \leq b$ 。令 $y = b sin t$ ， $d y = b cos t d t$ ，则 $t \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 且 $cos t \geq 0$ ，从而

S_{空} = 2 a \int_{\frac{b}{2}}^{b} 1 - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} d y = 2 ab \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} cos^{2} t d t = ab [t + \frac{sin 2 t}{2}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} = ab (\frac{π}{3} - \frac{3}{4}) .

因此油所占截面面积 $S = π ab - S_{空} = ab (\frac{2 π}{3} + \frac{3}{4})$ ，再乘轴向长度 $l$ 和密度 $ρ$ ，得 $m = (\frac{2 π}{3} + \frac{3}{4}) ab l ρ$ ，单位为 $kg$ 。