（1）定义域为 $x\ne -1$。先分段并作带余除法：

对各开区间求导，得

第二行均排除 $x=-1$。因此 $f^{\prime \prime }$ 在 $(-\infty ,-1)$ 上为正，在 $(-1,0)$ 上为负，在 $(0,+\infty )$ 上为正。按二阶导数为正称凹、为负称凸的约定，凹区间为 $(-\infty ,-1)$、$(0,+\infty )$，凸区间为 $(-1,0)$。
补充检查分界点：$f$ 在 $0$ 连续，且 $f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{|h|}{1+h}=0$。由两侧一阶导数表达式算得 $f^{\prime }$ 在 $0$ 的左、右导数分别为 $-2$、$2$，故 $f^{\prime \prime }(0)$ 不存在；但左右凹凸性相反，所以 $(0,0)$ 是拐点。$x=-1$ 不在定义域内，不能算拐点。
（2）在 $x=-1$ 附近，分子 $x|x|\to -1$，故 $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f(x)=+\infty$，$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)=-\infty$，所以 $x=-1$ 是竖直渐近线。其他有限点函数连续，没有竖直渐近线。
由分段的带余形式，

故正无穷方向的斜渐近线为 $y=x-1$，负无穷方向为 $y=-x+1$。两端函数值都趋于正无穷，没有水平渐近线，渐近线共三条。