条件 $P\{X^2=Y^2\}=1$ 等价于 $P\{X^2\ne Y^2\}=0$。因此 $(0,-1),(0,1),(1,0)$ 三个格点的概率均为零。剩余三格由边缘分布确定：

故联合分布为

各行、列之和分别与题给边缘分布一致，总和为 $1$。

三个非零概率格点 $(0,0),(1,-1),(1,1)$ 分别对应 $Z=XY$ 的取值 $0,-1,1$，每个格点概率均为 $\frac{1}{3}$，且三个像互不相同。因此

由第二问，$E(XY)=E(Z)=\frac{(-1+0+1)}{3}=0$。由边缘分布，$E(Y)=0$、$E(X)=\frac{2}{3}$，所以 $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$。再计算两方差：

相关系数有定义，故

这只表明不相关，不能推出独立。例如 $P\{X=0,Y=1\}=0$，而 $P\{X=0\}P\{Y=1\}=\frac{1}{9}$。