令 $F(x)=4\arctan x-x+\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}$。它在实轴上连续可导，且

因此 $F$ 在 $(-\infty ,-\sqrt{3}]$ 上严格递减，在 $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ 上严格递增，在 $[\sqrt{3},+\infty )$ 上严格递减。
利用 $\arctan (-\sqrt{3})=-\frac{\pi }{3}$，可得 $F(-\sqrt{3})=-\frac{4\pi }{3}+\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}=0$。于是 $x<-\sqrt{3}$ 时 $F(x)>0$，$-\sqrt{3}<x\le \sqrt{3}$ 时也有 $F(x)>0$，这两段只贡献同一个根 $x=-\sqrt{3}$。
在最后一段，$F(\sqrt{3})>F(-\sqrt{3})=0$。又 $\arctan x$ 有界，故 $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=-\infty$，可选足够大的 $M>\sqrt{3}$ 使 $F(M)<0$。由 $F$ 在 $[\sqrt{3},M]$ 连续，零点定理保证 $(\sqrt{3},M)$ 内至少有一个零点；由 $F$ 在 $[\sqrt{3},+\infty )$ 严格递减，此段至多一个零点。
综上，原方程恰有两个不同实根，一个为 $-\sqrt{3}$，另一个位于 $(\sqrt{3},+\infty )$。