2003 · 数学二 · 第 11 题 · 选择题

设

I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{tan x}{x} d x

，

I_{2} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{x}{tan x} d x

，则（　　）。

A
$I_{1} > I_{2} > 1$
B
$1 > I_{1} > I_{2}$
正确答案
C
$I_{2} > I_{1} > 1$
D
$1 > I_{2} > I_{1}$

答案

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令 $g (x) = \frac{tan x}{x}$ ，并在 $x = 0$ 处按极限将其连续延拓为 $g (0) = 1$ 。对 $0 < x \leq \frac{π}{4}$ ，有 $tan x > x$ ，所以 $g (x) > 1$ 且 $\frac{x}{tan x} = \frac{1}{g ( x )} < g (x)$ 。因此 $I_{2} < I_{1}$ 。

函数 $tan x$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上严格凸，且端点值为 $0, 1$ ，故内点满足 $tan x < \frac{4}{π} x$ 。于是 $I_{1} < \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{4}{π} d x = 1$ 。

所以 $1 > I_{1} > I_{2}$ ，对应选项 B。