1998 · 数学一 · 第 16 题 · 解答题

设正项数列

{a_{n}}

单调减少，且

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} a_{n}

发散。试问级数

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{a _{n} + 1})^{n}

是否收敛？并说明理由。

答案

收敛。

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正项单调减少数列有极限 $a \geq 0$ 。若 $a = 0$ ，则由莱布尼茨判别法，交错级数 $\sum (- 1)^{n} a_{n}$ 收敛，与题设矛盾。因此 $a > 0$ 。

令 $u_{n} = (\frac{1}{( a _{n} + 1 )})^{n}$ ，则

n \to \infty lim n u_{n} = n \to \infty lim \frac{1}{a _{n} + 1} = \frac{1}{a + 1} < 1.

由根值判别法，所给正项级数收敛。