2021 · 数学一 · 第 3 题 · 选择题

（1）目标是保留到三次项。因为 $sin x$ 最低次项为 $x$ ，另一因子只需展开到二次项并控制余项：

sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3}), \frac{1}{1 + x ^{2}} = 1 - x^{2} + O (x^{4}) .

（2）两式相乘，三次项分别来自 $x (- x^{2})$ 和 $(- \frac{x ^{3}}{6}) \cdot 1$ ，故

f (x) = (x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})) (1 - x^{2} + O (x^{4})) = x - x^{3} - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3}) = x - \frac{7}{6} x^{3} + o (x^{3}) .

高于三次的乘积均并入余项。由泰勒系数唯一性， $a = 1, b = 0, c = - \frac{7}{6}$ ，选 A。
（3） $f$ 是奇函数，故二次系数必为零，可排除 C、D。B 把三次系数写成正数，但两项贡献都为负，因此错误。

答案