记 $f(a)=f(b)=c$。由于 $f$ 不恒为常数，存在 $x_0\in (a,b)$ 使 $f(x_0)\ne c$。

若 $f(x_0)>c$，在区间 $[a,x_0]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,x_0)$ 使

若 $f(x_0)<c$，在区间 $[x_0,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x_0,b)$ 使

两种情形都得到 $\xi \in (a,b)$ 且 $f^{\prime }(\xi )>0$，命题得证。