2013 · 数学二 · 第 16 题 · 解答题

曲线在 $x \geq 0$ 时非负且过原点，区域为 $0 \leq x \leq a$ 、 $0 \leq y \leq x^{\frac{1}{3}}$ 。
（1）绕 $x$ 轴用圆盘法，半径为 $x^{\frac{1}{3}}$ ，所以

V_{x} = π \int_{0}^{a} x^{\frac{2}{3}} d x = \frac{3 π}{5} a^{\frac{5}{3}} .

（2）绕 $y$ 轴用柱壳法，竖条转成半径 $x$ 、高 $x^{\frac{1}{3}}$ 的薄圆筒，故

V_{y} = 2 π \int_{0}^{a} x \cdot x^{\frac{1}{3}} d x = \frac{6 π}{7} a^{\frac{7}{3}} .

亦可对 $y$ 切片： $0 \leq y \leq a^{\frac{1}{3}}$ ，左右边界为 $x = y^{3}$ 与 $x = a$ ，截面是外半径 $a$ 、内半径 $y^{3}$ 的圆环，从而

V_{y} = π \int_{0}^{a^{\frac{1}{3}}} (a^{2} - y^{6}) d y = π a^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{7} a^{\frac{7}{3}} = \frac{6 π}{7} a^{\frac{7}{3}} .

（3）由 $V_{y} = 10 V_{x}$ 得 $\frac{6 π}{7} a^{\frac{7}{3}} = 6 π a^{\frac{5}{3}}$ 。因 $a > 0$ ，除以 $6 π a^{\frac{5}{3}}$ 可得 $a^{\frac{2}{3}} = 7$ ，故唯一正解为 $a = 7^{\frac{3}{2}} = 77$ 。

答案